El jugador proviene del Hereda San Pablo Burgos con el que ha disputado las últimas dos temporadas a las órdenes del nuevo entrenador taronja, Joan Peñarroya. Rivero ha sido pieza clave en la consecución de los tres títulos del equipo burgalés, que ha conquistado por dos ocasiones la Champions League y en una ocasión la Copa Intercontinental.
Jasiel Rivero comenzó su periplo en los Capitalinos de la Habana, aunque pronto hizo las maletas para comenzar una carrera internacional que le llevaría a Sudamérica, primero en Uruguay y después en Argentina. Su primer destino fuera de la isla es el equipo uruguayo Club Atlético Tabaré, donde disputa la 2015-16. Al año siguiente saltaría a la liga argentina, donde se enrolaría por dos años en el Estudiantes de Concordia, hasta 2018. Su fichaje por San Pablo Burgos en 2018 viene acompañado de una cesión para seguir en Argentina, en Boca Juniors, donde consigue ser quinteto ideal de la LNB.
Tras un inicio complejo debido a su condición de extracomunitario, Jasiel Rivero comenzó su etapa en España jugando sobre todo en Champions League, entrando en Liga Endesa con regularidad desde más o menos mitad de la temporada. Su hueco en la rotación se fue consolidando con el paso de las semanas.
En su segunda y última temporada, esta pasada 2020-21, su rendimiento y explosión se vio clara desde el inicio, disputando 35 partidos en la Liga Endesa con medias de 12,2 puntos y 5,6 rebotes en un año histórico para el equipo, donde consiguió clasificarse por primera vez en su historia para la Copa del Rey y el PlayOff por el título.
Su gran actuación le valió la nominación en el segundo mejor quinteto de la Liga Endesa 21-22 junto a Cory Higgins y Nikola Mirotic (Barça), Rokas Giedraitis (Baskonia) y Melo Trimble (Urbas Fuenlabrada).
Sus números incluso crecieron en la brillante Champions League conquistada por segunda vez, donde promedió 12,8 puntos y 6,8 rebotes en los 13 encuentros que estuvo sobre el parquet. Su gran labor le valió para ser elegido también en el segundo mejor quinteto de la Champions League junto al alero de Zaragoza, Dylan Ennis.